Kurvendiskussion / Exponential- und Logarithmusfunktionen

Der zweite Band der Reihe "Kurvendiskussion" widmet sich den Exponential- und Logarithmusfunktionen. Der Arbeitsband ist vorgesehen zum Einsatz in der SEK I in den Klassen 9 und 10 sowie in der SEK II in den Klassen 11 bis 13 und enthält zahlreiche abwechslungsreiche Übungsaufgaben. Die Kopiervorlagen eignen sich zum selbstständigen Arbeiten in der Freiarbeit und sind mit Lösungen - auch zur Selbstkontrolle - ausgestattet.

Die Wachstumsprozesse bei Exponential- und Logarithmusfunktionen werden verglichen. Ausgehend von praktischen Beispielen für exponentielles Wachstum - einschließlich vergleichender Betrachtungen zu linearem Wachstum - werden Exponential- und Logarithmusfunktionen untersucht. Auch hier kommen die Mittel der Differentialrechnung zum Einsatz.
Als besonders bedeutsam werden die e-Funktion und die Eulersche Zahl e herausgearbeitet.

Wachstums- und Zerfallsprozesse in Natur und Gesellschaft zu beschreiben und durch Modellieren berechenbar zu machen, gehört zu den bedeutsamen Aufgaben der Naturwissenschaften und der Mathematik. Kapital wächst, wenn es nach dem Zinseszins-Prinzip angelegt wird. In diesem Fall arbeitet die Zeit für das Vermögen des Anlegers, wie der britische Gelehrte Richard Price im Jahr 1772 mit seinem Beispiel vom „Josephspfennig“, der zu Christi Geburt mit einem Cent angelegt wurde und wegen des Zuwachses auf Grund der Verzinsung mit fünf Prozent bis zur Gegenwart auf einen nahezu unbeschreiblich hohen Betrag – beispielsweise bis zum Jahr 2000 auf 2,39 · 1040 Euro – angewachsen ist. Auch die Legende von dem Lohn für den Erfinder des Schachspiels – einer unsagbar hohen Menge an Weizenkörnern – ist ein beeindruckendes Beispiel für Wachstumsprozesse, die erst schleichend verlaufen, um mit zunehmender Zeit jedoch den Startwert zu enormer Größe anwachsen zu lassen.

Mit Hilfe von Exponentialfunktionen lassen sich Wachstumsvorgänge beschreiben und berechnen, die in der Natur – auch vom Menschen unerkannt – ablaufen. So vermehren sich beispielweise Algen, Bakterien und Hefekulturen exponentiell; der Luftdruck nimmt mit steigender Höhe über dem Meeresspiegel exponentiell ab. Die Konzentration von Medikamenten im Blut verringert sich mit zunehmender Zeit seit Beginn der Einnahme exponentiell, sowie auch die Konzentration von Alkohol, was bei Verkehrskontrollen oft zu erschreckendem Resultat führt, da auch Stunden nach dem Genuss immer noch Restalkohol nachweisbar ist.

So werden in vorliegendem Heft die Exponentialfunktionen anschaulich mit Beispielen aus der Praxis eingeführt und ihre Eigenschaften mit denen linearer Funktionen und den Eigenschaften von Potenzfunktionen verglichen. Fachübergreifende Betrachtungen zur Physik und zur Biologie bereichern dabei die mathematischen Inhalte.

Im Anschluss an die elementaren Betrachtungen und Arbeitsaufträgen zu den Exponentialfunktionen kommt die Anwendung der Differentialrechnung auf diesen Funktionstyp zum Einsatz. Im ersten Band dieser Serie wurde die Bedeutung des Differentialquotienten bzw. der ersten Ableitung einer Funktion für den Anstieg einer Funktion an einer bestimmten Stelle am Beispiel von Potenzfunktionen ausführlich vorgestellt.

Beim Differenzieren von Exponentialfunktionen kommt der Euler’schen Zahl e und Exponentialfunktionen mit der Basis e eine besondere Bedeutung zu, denn die Ableitungsfunktion der Funktion f(x) = ex ist mit der Funktion selbst identisch.

Die zahlreichen Arbeitsaufträge, Übungen und Tests in diesem Heft sollen ein Beitrag dazu sein, die Schüler zum Entdecken und Festigen der Eigenschaften von Exponential- und Logarithmusfunktionen anzuregen und die Bedeutung dieser Funktionen für die mathematische Beschreibung praktischer Sachverhalte zu erkennen.

Inhalt:

• Funktionen bauen
• Überholen bei Funktionen
• Exponentialfunktionen beschreiben Wachstums- und Zerfallsprozesse
• Die allgemeine Exponentialfunktion
• Puzzle mit Funktionen
• Rechnen mit Exponentialfunktionen
• Zinsrechnung
• Die Euler’sche Zahl
• Differenzieren von Exponentialfunktionen
• Die Euler’sche Funktion und ihre Ableitung
• Übungen im Differenzieren von e-Funktionen
• Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
• Rechnen mit Logarithmen
• Die natürliche Logarithmusfunktion
• Differenzieren von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis
• Schnittpunkte von Funktionsgraphen
• Tangenten und Normalen an Exponentialfunktionen
• Notwendige und hinreichende Kriterien für Extrema und Wendepunkte
• Beispiel für eine vollständige Kurvenuntersuchung einer e-Funktion
• Übungen zur Kurvendiskussion von e-Funktionen
• Differenzieren der natürlichen Logarithmusfunktion
• Beispiel für eine vollständige Kurvenuntersuchung einer Logarithmusfunktion
• Übungen zur Kurvendiskussion von Logarithmusfunktionen
• Multiple-Choice-Test

Mit Lösungen - auch zur Selbstkontrolle.