Kurvendiskussion / Trigonometrische Funktionen

Der dritte Band der Reihe "Kurvendiskussion" widmet sich den Trigonometrischen Funktionen. Der Arbeitsband ist vorgesehen zum Einsatz in der SEK I in den Klassen 9 und 10 sowie in der SEK II in den Klassen 11 bis 13 und enthält zahlreiche abwechslungsreiche Übungsaufgaben. Die Kopiervorlagen eignen sich zum selbstständigen Arbeiten in der Freiarbeit und sind mit Lösungen - auch zur Selbstkontrolle - ausgestattet.

Anschaulich eingeführt durch zeitlich periodische Vorgänge in der Natur  werden die Graphen von Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion am Einheitskreis aus den bekannten trigonometrischen Beziehungen am Dreieck hergeleitet. Darauf aufbauend kommen auch hier die Mittel der Differentialrechnung zum Einsatz.

Prozesse in der Natur laufen sehr oft nach einem bestimmten zeitlichen Plan ab, wiederholen sich nach gleichen Zeitspannen und bestimmen so den Rhythmus unseres Lebens. Solche zeitlich periodischen Vorgänge zu beschreiben, um die Gesetze der Natur beispielsweise für Physik, Astronomie und Technik greifbarer zu machen, ist Aufgabe der Mathematik. So kommen Praxisbezüge und fachübergreifende Aspekte auch in diesem Band zum Tragen.

Die durch den Umlauf unseres Erdtrabanten verursachten Gezeiten, welche den Meeresspiegel rhythmisch heben und senken, die periodisch zu- und abnehmende Tageslänge in Abhängigkeit von der Position der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne, die Gesetzmäßigkeiten der Schwingungen des Wechselstromes oder einer elastischen Schraubenfeder werden anschaulich und motivierend als Beispiele zur praktischen Anwendung von modifizierten Sinusfunktionen vorgestellt. Auf der Grundlage von bereitgestellten Daten werden die Schüler mit vielfältigen Arbeitsaufträgen zum Auffinden der entsprechenden Funktionsgleichungen bzw. zum Darstellen der funktionalen Abhängigkeit mittels Graphen angeregt.

Als Ausgangspunkt für die Erarbeitung der Graphen von Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion dient der Einheitskreis, sodass beispielsweise der Zusammenhang zwischen den Funktionswerten der Sinusfunktion und der Projektion der Koordinaten eines auf der Kreisbahn umlaufenden Punktes P beim Erarbeiten des Funktionsgraphen mit Hilfe repräsentativer Punkte deutlich wird. Vorgegebene Abbildungen, Wertetabellen und Koordinatensysteme erleichtern den Schülern die formalen Arbeiten und machen Konzentration auf das Wesentliche möglich. Die Eigenschaften der Winkelfunktionen, wie ihr Definitions- und Wertebereich, Periode, Amplitude, und Extrempunkte können in vorgegebenen Tabellen übersichtlich zusammengestellt werden. Zahlreiche Aufgaben, darunter Zuordnungsübungen, sind geeignet, die grundlegenden Eigenschaften der modifizierten Sinusfunktion zu festigen.

Inhalt:

- Trigonometrische Beziehungen am Dreieck

• Fundamentale Gesetze für Dreiecke
• Definition von Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck
• Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
• Der trigonometrische Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck

- Trigonometrische Funktionen

• Periodische Vorgänge in Natur und Technik
• Größen zur Beschreibung periodischer Vorgänge am Beispiel des Wechselstromes
• Kreisbewegung, Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels
• Definition von Sinus und Kosinus eines Winkels am Einheitskreis
• Die Sinusfunktion f(x) = sin x
• Modifikation der Sinusfunktion
• Kombination von Modifikationen der Sinusfunktion
• Puzzeln mit Sinusfunktionen
• Die Kosinusfunktion f(x) = cosx
• Die Tangensfunktion f(x) = tan x
• Trigonometrische Gleichungen
• Beschreibung von Vorgängen in Natur und Technik mit Hilfe von Winkelfunktionen

1. Die Beschreibung der Tageslänge mit einer Sinusfunktion
2. Tidenkurven der Gezeiten
3. Der Federschwinger

- Anwendung der Differentialrechnung auf trigonometrische Funktionen

• Differenzieren von Winkelfunktionen
• Ableitungsübungen
• Anstieg, Tangenten und Normalen
• Notwendige und hinreichende Kriterien für Extrema und Wendepunkte
• Beispiel für eine vollständige Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen
• Übung zur Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen
• Multiple-Choice-Test

Mit Lösungen - auch zur Selbstkontrolle.